TED sistem bilangan aritmatika dan biner

a. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari uraan materi kegiatan belajar 1 ini diharapkan siswa dapat memahami tentang sistem bilangan dan aritmatika biner.

b. Uraian Materi 6

1) Sistem desimal dan biner

Dalam sistem  bilangan desimal, nilai yang terdapat pada kolom ketiga pada Tabel 11, yaitu A, disebut satuan, kolom kedua yaitu B disebut puluhan, C disebut ratusan, dan seterusnya. Kolom A, B, C menunjukkan kenaikan pada eksponen dengan basis 10 yaitu 10⁰ = 1, 10¹  = 10, 10² =100.

Dengan cara yang sama, setiap kolom pada sistembilangan biner, yaitu sistem bilangan dengan basis, menunjukkan eksponen dengan basis 2, yaitu 2⁰ = 1, 2¹ =2, 2² = 4, dan seterusnya.

Setiap digit biner disebut bit; bit paling kanan disebut least significant bit (LSB), dan bit paling kiri disebut most significant bit (MSB).

Untuk membedakan bilangan pada sistem yang berbeda digunakan subskrip. Sebagai contoh 9₁₀ menyatakan bilangan sembilan pada sistem bilangan desimal, dan 01101₂ menunjukkan bilangan biner 01101. Subskrip tersebut sering diabaikan jika sistem bilangan yang dipakai

sudah jelas.

 Konversi Desimal ke Biner

Cara untuk mengubah bilangan desimal ke biner adalah dengan pembagian. Bilangan desimal yang akan diubah secara berturut-turut dibagi 2, dengan memperhatikan sisa pembagiannya. Sisa pembagian akan bernilai 0 atau 1, yang akan membentuk bilangan biner dengan sisa yang terakhir menunjukkan MSBnya.

Sebagai contoh, untuk mengubah 52₁₀ menjadi bilangan biner, diperlukan langkah-langkah berikut :

52 : 2   =   26 sisa 0, LSB

26 : 2   =   13 sisa 0

13 : 2   =     6 sisa 1

6 :  2    =    3 sisa 0

3 : 2     =    1 sisa 1

1 : 2     =    0 sisa 1, MSB

Sehingga bilangan desimal 52₁₀ akan diubah menjadi bilangan biner 110100.

Cara di atas juga bisa digunakan untuk mengubah sistem bilangan yang lain, yaitu oktal atau heksadesimal.

2) Bilangan Oktal

Bilangan Oktal adalah sistem bilangan yang berbasis 8 dan mempunyai delapan simbol bilangan yang berbeda : 0,1,2,….,7.

Teknik pembagian yang berurutan dapat digunakan untuk

mengubah bilangan desimal menjadi bilangan oktal.

Bilangan desimal yang akan diubah secara berturut-turut

dibagi dengan 8 dan sisa pembagiannya harus selalu

dicatat. Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan 581910

ke oktal, langkah-langkahnya adalah :

 5819 : 8  = 727,  sisa 3, LSB

 727 :  8   = 90,     sisa 7

 90 :  8    = 11,      sisa 2

 11 :  8    = 1,        sisa 3

 1 : 8       = 0,        sisa 1, MSB

Sehingga 5819₁₀ = 13273₈

· Bilangan Oktal dan Biner

Setiap digit pada bilangan oktal dapat disajikan dengan 3 digit bilangan biner, lihat Tabel 1.5. Untuk

mengubah bilangan oktal ke bilangan biner, setiap digit oktal diubah secara terpisah. Sebagai contoh,

3527₈ akan diubah sebagai berikut:

3₈ = 011₂, MSB

5₈ = 101₂

2₈ = 010₂

7₈ = 111₂, LSB

Sehingga bilangan oktal 3527 sama dengan bilangan 011 101 010 111.

Sebaliknya, pengubahan dari bilangan biner ke bilangan oktal dilakukan dengan mengelompokkan

setiap tiga digit biner dimulai dari digit paling kanan, LSB. Kemudian, setiap kelompok diubah secara terpisah ke dalam bilangan oktal. Sebagai contoh, bilangan 11110011001₂ akan dikelompokkan menjadi

11 110 011 001, sehingga.

   11²   = 3⁸, MSB

   110² = 6⁸

  011² = 3⁸

  001² = 1⁸, LSB

Jadi, bilangan biner 11110011001 apabila diubah

menjadi bilangan oktal akan diperoleh 3631₈.

3) Bilangan Hexadesimal

Bilangan heksadesimal, sering disingkat dengan hex, adalah bilangan dengan basis 16₁₀, dan mempunyai 16 simbol yang berbeda, yaitu 0 sampai dengan 15.

Bilangan yang lebih besar dari 15₁₀ memerlukan lebih dari satu digit hex. Kolom heksadesimal menunjukkan eksponen dengan basis 16, yaitu 16⁰ = 1, 16¹  = 16, 16² = 256, dan

seterusnya. Sebagai contoh :

152B¹⁶ = (1 x 16³) + (5 x 16²) + (2 x 16¹) + (11 x 16⁰)

 = 1 x 4096 + 5 x 256 + 2 x 16 + 11 x 1

 = 4096 + 1280 + 32 + 11

 = 5419₁₀

Sebaliknya, untuk mengubah bilangan desimal menjadi bilangan heksadesimal, dapat dilakukan dengan cara membagi bilangan desimal tersebut dengan 16. Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan 340810 menjadi bilangan heksadesimal, dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

 3409/16 = 213, sisa   1₁₀ = 1₁₆, LSB

 213/16 =   13, sisa   5₁₀ = 5₁₆

 13/16 =     0, sisa 13₁₀ = D₁₆, MSB

Sehingga, 3409₁₀ = D51₁₆.

· Bilangan Hexadesimal dan Biner

Setiap digit pada bilangan heksadesimal dapat disajikan dengan empat buah bit.

Untuk mengubah bilangan heksadesimal menjadi bilangan biner, setiap digit dari bilangan heksadesimal diubah secara terpisah ke dalam empat bit bilangan biner. Sebagai contoh, 2A5C₁₆ dapat diubah ke bilangan biner sebagai berikut.

  2₁₆ =  0010, MSB

  A₁₆ = 1010

  5₁₆ =  0101

  C₁₆ = 1100, LSB

Sehingga, bilangan heksadesimal 2A5C akan diubah menjaid bilngan biner 0010 1010 0101 1100.

Sebaliknya, bilangan biner dapat diubah menjadi bilangan heksadesimal dengan cara mengelompokkan

setiap empat digit dari bilangan biner tersebut dimulai dari sigit paling kanan. Sebagai contoh, 0100111101011100₂ dapat dikelompokkan menjadi 0100 1111 0101 1110. Sehingga:

0100₂ = 4₁₆, MSB

1111₂ = F₁₆

0101₂ = 5₁₆

1110₂ = E₁₆, LSB

Dengan demikian, bilangan 0100 1111 0101 1110₂ = 4F5E₁₆.

4) Bilangan Biner Pecahan

Dalam sistem bilangan desimal, bilangan pecahan disajikan dengan menggunakan titik desimal. Digit-digit yang berada di sebelah kiri titik desimal mempunyai nilai eksponen yang semakin besar, dan digit-digit yang berada di sebelah kanan titik desimal mempunyai nilai eksponen yang semakin kecil.

Sehingga

  0.1₁₀ = 10^-1      = 1/10

  0.10₁₀ = 10^-2-  = 1/100

  0.2     =  2 x 0.1  = 2 x 10^-1, dan seterusnya.

Cara yang sama juga bisa digunakan untuk menyajikan

bilangan biner pecahan. Sehingga,

  0.1₂   = 2^-1 = ½, dan

  0.01₂ = 2^-2-= ½²  = ¼

Sebagai contoh,

0.111₂ = ½ + ¼ + 1/8   = 0.5 + 0.25 + 0.125

   = 0.875₁₀

101.101₂ = 4 + 0 + 1+ ½ + 0 + 1/8   = 5 + 0.625

   = 5.625₁₀

Pengubahan bilangan pecahan dari desimal ke biner dapat dilakukan dengan cara mengalihkan bagian pecahan dari bilangan desimal tersebut dengan 2, bagian bulat dari hasil perkalian merupakan pecahan dalam bit biner. Proses perkalian diteruskan pada sisa sebelumnya sampai hasil perkalian sama dengan 1 atau sampai ketelitian yang diinginkan. Bit biner pertama yang diperoleh merupakan MSB dari bilangan biner pecahan. Sebagai contoh, untuk mengubah 0.62510 menjadi bilangan biner dapat dilaksanakan dengan

       0.625 x 2 = 1.25, bagian bulat = 1 (MSB), sisa = 0.25

       0.25 x 2 = 0.5, bagian bulat = 0, sisa = 0.5

       0.5 x 2 = 1.0,  bagian bulat = 1 (LSB), tanpa sisa

            Sehingga, 0.625₁₀  = 0.101₂

5) Sistem Bilangan BCD

Sampai saat ini kita hanya melihat pengubahan dari bilangan desimal ke bilangan biner murni. Pada beberapa aplikasi, misalnya sistem berdasar mikroprosesor, seringkali lebih sesuai apabila setiap digit bilangan desimal diubah menjadi 4 digit bilangan biner. Dengan cara ini, suatu bilangan desimal 2 digit akan diubah menjadi dua kelompok empat digit bilangan biner, sehingga keseluruhannya menjadi 8 bit, tidak bergantung pada nilai bilangan desimalnya sendiri. Hasilnya sering disebut sebagai binary-

coded decimal (BCD). Penyandian yang sering digunakan dikenal sebagai sandi 8421 BCD. Selain penyandian 8421 BCD, juga dikenal sejumlah penyandian yang lain.

Contoh

Ubah 25 menjadi bilangan BCD

Penyelesaian

2₁₀    =  0010  dan

5₁₀    =  0101

Sehingga, 25₁₀  = 0010  0101 BCD

6) Aritmatika Biner

a) Penjumlahan Biner

Penjumlahan bilangan biner serupa dengan penjumlahan pada bilangan desimal. Dua bilangan yang

akan dijumlahkan disusun secara vertikal dan digit-digit yang mempunyai signifikansi sama ditempatkan pada kolom yang sama. Digit-digit ini kemudian dijumlahkan dan jika dijumlahkan lebih besar dari bilangan basisnya (10 untuk desimal, dan 2 untuk  biner), maka ada bilangan yang disimpan. Bilangan yang disimpan ini kemudian dijumlahkan dengan digit di sebelah kirinya, dan seterusnya. Dalam penjumlahan bilangan biner, penyimpanan akan terjadi jika jumlah dari dua digit yang dijumlahkan adalah 2.

Berikut adalah aturan dasar untuk penjumlahan  pada

sistem bilangan biner.

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0, simpan 1

Tabel 14. menunjukkan perbandingan antara penjumlahan pada sistem bilangan desimal dan sistem

bilangan biner, yaitu 823₁₀ + 238₁₀ dan 11001₂ + 11011₂.